Penyelesaian Persamaan Tak Linear : Metode Regula Falsi

Assalamualaikum Wr. Wb. Pada kesempatan kali ini saya mencoba membahas tentang Penyelesaian persamaan tak linear dengan menggunakan metode regula falsi. Setelah pada artikel sebelumnya kita membahas tentang metode bisection. Isi dari bahasan kali ini adalah membahas dasar dari metode regula falsi, kemudian dilanjut dengan membahas langkah pengerjaan yang akan diperjelas dengan adanya contoh soal dan pembahasannya mengikuti cara kerja yang dibuat.

Dasar dari metode regula falsi.

Dasar dari metode ini adalah teorema harga antara yaitu “bila f kontinu di [a, b] dan f(a).f(b) < 0, maka ada x* ϵ [a, b] sehingga f(x*) = 0. Pada metode ini nilai akar dihampiri oleh fungsi linear (garis lurus), nilai hampiran akan berupa perpotongan garis lurus melalui (a, f(a)) dan (b, f(b)) dengan sumbu x.

kemudian ditunjang dengan persamaan garis yang melalui titik (a,f(a)) dan (b,f(b) diberikan oleh :

Persamaan 1

dari rumus di atas kita mengibaratkan terjadi perpotongan dengan sumbu X (sumbu horizontal), dimana y=0 dan x=c. Maka muncullah persamaan berikut :

Persamaan 2

Mungkin kalau digambarkan dengan kurang lebih sebagai berikut :

Ilustrasi Grafik dalam proses regula falsi

Jadi kita mempunyai sebuah fungsi f(x) yang membentuk garis lengkung. Kemudian seperti pada metode-metode sebelumnya kita menebak 2 buah titik semisal a dan b yang memenuhi syarat f(a)*f(b)<0. kemudian kita menarik garik lurus dari kedua titik tersebut sehingga akan muncul titik c. kemudian kita upgrade lagi sehingga mendekati titik dimana grafik lengkung yang xnya berpotongan dengan sumbu horizontal (X).

Langkah Pengerjaan Menggunakan Metode Regula Falsi

• Ambil 2 titik a dan b sebagai awal perhitungan sekaligus sebagai batas perhitungan. Dimana f(a)*f(b)<0.
• Kemudian cari nilai c dengan menggunakan rumus c = a - f(a) * ((b-a)/(f(b)-f(a))). *lihat persamaan 2. Kemudian hitung nilai dari f(c).
• Update batas baru dimana ada 2 pilihan yaitu f(a)*f(c)<0 atau f(c)*f(b)<0.
• Ulangi langkah ke-2 dan ke-3 sampai:
• Batas berapa kali perulangan, atau
• menemukan nilai f(c) < batas presisi, biasanya f(c) < 10^-7.

Contoh Soal dan Pengerjaannya

Diketahui Fungsi f(x) = cos x – sin x. (gunakan mode radiant)
Nilai akar dicari pada interval [0, 1], gunakan metoda posisi palsu untuk

• Akar persamaan sampai 3 iterasi.
• Hitung f(c3).
• Cari sampai presisi 10^-7.

 Jawab.

Karena batas awal sudah ditentukan bahwa batas perhitungan ada di interval [0,1]. Maka langsung saja berarti a=0 dan b=1. 

jawaban poin ke-1.

Iterasi 1

• nilai masing f(a) dan f(b) :
• f(0) = cos(0)-sin(0) = 1 
• f(1) = cos(1)-sin(1) = -0,301168679
• c = a - f(a) *((b-a)/(f(b)-f(a))) = 0 - 1 * ((0-1)/(1-(-0,301168679))) = 0,768539864.
• c =  0,768539864. (c1)
• f(c) =  0,023840106
• cek untuk update batas :
• f(a)*f(c) < 0 --> tidak memenuhi maka tidak diambil sebagai batas baru.
• f(c)*f(b) < 0 --> memenuhi maka diambil sebagai batas baru.

Iterasi 2

• nilai masing-masing batas [0,768539864;1]:
• f(0,768539864) = cos (0,768539864)-sin(0,768539864) =  0,023840106
• f(1) = cos(1) - sin(1) =  -0,301168679
• c = a - f(a) *((b-a)/(f(b)-f(a))) = 0,768539864 - 1 * ((0,768539864-1)/(0,023840106-(-0,301168679))) = 0,785517972.
• c = 0,785517972. (c2).
• f(c) = -0,000169435.
• cek untuk update batas :
• f(a)*f(c) < 0 --> memenuhi maka diambil sebagai batas baru.
• f(c)*f(b) < 0 --> tidak memenuhi maka tidak diambil sebagai batas baru.

Iterasi 3

• nilai masing-masing batas [0,768539864;0,785517972]:
• f(0,768539864) = cos (0,768539864)-sin(0,768539864) =  0,023840106.
• f(0,785517972) = cos(0,785517972) - sin(0,785517972) =  -0,000169435.
• c = a - f(a) *((b-a)/(f(b)-f(a))) =0,785398158.
• c = 0,785398158. (c3)
• f(c) = 7,96886E-09.
• cek untuk update batas :
• f(a)*f(c) < 0 --> tidak memenuhi maka tidak diambil sebagai batas baru.
• f(c)*f(b) < 0 --> memenuhi maka diambil sebagai batas baru.

Jawaban poin ke-2.
c3 atau nilai c yang berada di iterasi ke-3 =  0,785398158

Jawaban poin ke-3.
untuk nilai x = 0,785398158 sudah memenuhi batas presisi, dimana f(0,785398158)= 7,96886E-09. dan 7,96886E-09 < 10-^7.

sumber

• PPT Metnum S-1 Informatika Unpad 2015

Sekian kurangnya mohon maaf. Wassalamualaikum Wr. Wb.
"Keep Learning Alon-alon asal kelakon, Best regards : sufyan97".

Lokasi:

Berbagi :