Integral Numerik 1 (Reimann, Trapezoida)

Pada Bab sebelumnya kita telah membahas diferensial numerik. Nah, pada kesempatan kali ini kita akan membahas tentang integral menggunakan metode numerik. Untuk integral kali ini lebih ditekankan lagi kepada pengaplikasian perhitungan luas sebuah daerah. Ya seperti yang kita tau bahwa integral bisa juga digunakan untuk menghitung luas suatu wilayah.

Berikut beberapa poin tentang integral numerik :

• Integral numerik merupakan alat (cara) yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik (memerlukan sumberdaya yang sangat banyak dalam penyelesaiannya).
• Penerapan integral: menghitung luas dan volume-volume benda putar.
• Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, dengan menjumlahkan bagian-bagian tersebut.
• Metoda Numerik mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.

membagi kecil kemudian dijumlahkan

Dalam Integral Numerik dikenal beberapa metode diantaranya :

• Metode Reimann
• Metode Trapezoida
• Metode Simpson 1/3
• Metode Simpson 3/8 

1. Metode Reimann

Ide dari metode reimann adalah mempartisi sebuah fungsi sehingga lebih kecil yang berbentuk segi empat. kemudian dijumlahkan masing-masing partisi tersebut. ilustrasi :

Metode Reimann

Pada gambar diatas merupakan grafik fungsi dari x*cos(3*x)*exp(2*x)+0.35 coba bayangkan jika anda mengintagralkan fungsi tersebut. Bisa dipastikan lumayan repot. Nah grafik fungsi tadi kita partisi menjadi segi empat. Jarak antar kotak bisa kital dengan h. Untuk rumusnya :

Luas Keseluruhan = L0+L1+...+Ln = f(x0).x0+f(x1).x1+...+f(xn).xn

Jika jarak  antar partisinya(h) sama maka bisa disederhanakan menjadi :
Luas Keseluruhan = f(x0).h+f(x1).h+...+f(xn).h = h.(f(x0)+f(x1)+...+f(xn))

atau bisa ditulis dalam bentuk :

Rumus Metode Reimann(Komposit)

Contoh soal :

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 dan sumbu x untuk x = [0,1] !

Jawab : 

2. Metode Trapezoida

Idenya sama seperti reimann. Tetapi memodifikasi bentuk bangun datarnya yang tadinya segi empat menjadi trapesium. Ilustrasi :

Ilustrasi Metode Trapezoida

Pada gambar diatas, ada sebuah fungsi yang bernama f(x). Kemudian kita hendak mencari luas daerahnya dari x0 ke x1. Dengan menggunakan Metode Trapezoida kita akan membuat sebuah bentuk trapesium dari grafik tersebut (liat gambar yang diarsir biru). Rumus yang digunakan, menggunakan rumus trapesium yaitu :

Rumus Luas Trapesium, Sumber : HitungLuas.com

Nah, pada metode trapezoida r1 dan r2 merujuk kepada f(x0) dan f(x1). atau y0 dan y1. Maka rumusnya menjadi :

Dengan keterangan sebagai berikut :
L = merupakan luas.
h  = jarak antara x1 ke x0 (h = x1-x0).
f(x0) = tinggi di x0 (biasa kita kenal y0).
f(x1) = tinggi di x1 (biasa kita kenal y1).

Selanjutnya perhatikan gambar berikut :

Komposit Trapezoida

Diibaratkan f(x) yang tadi sama dengan f(x) yang ada digambar sebelumnya(ilustrasi trapezoida). Maka kita akan mendapat hasil perhitungan yang hampir mendekati nilai sebenarnya. Jadi jatuh kepada kesimpulan :

"Semakin kecil nilai h, yang artinya semakin banyak partisi yang ada pada suatu fungsi maka semakin bagus pula hasil perhitungannya (mendekati nilai yang sebenarnya)".

Nah, bagaimana sih cara menghitung luas tadi (yang diarsir biru). Maka kita tinggal menjumlahkan luas masing-masing partisi satu sama lain. Atau dalam matematikamya dituliskan demikian :

Atau kalau misalkan nilai h antar partisi sama, maka kita tinggal menyederhanakannya menjadi :

Mohon maaf apabila kekurangan dan kesalahan, semoga bermanfaat Terimakasih.
Selanjutnya ditunggu postingan yang membahas penggunaan metode ini ya.

Sumber  :
Suryana Ino. 2016. Metode Numerik : Integrasi Numerik part 1 (PPT). Sumedang: Universitas Padjadjaran.
http://hitungluas.com/cara-menghitung-luas-trapesium-rumus-jumlah-sisi-sejajar-dibagi-dua-kali-tinggi (disadur dari berbagai sumber).

Lokasi:

Berbagi :