Seperti yang kita ketahui dalam kalkulus (matematika). Kita mengenal konsep yang bernama turunan. Nah, bagaimana pengaplikasiannya bisa dilihat dalam perhitungan garis tepi atau menentukan kemiringan suatu benda. Pernahkah terbayang bagaimana komputer menghitung sebuah turunan. Dalam hal ini metode numerik sangat penting kaitannya. Langsung saja kita bahas :
Pendahuluan (Kenapa Harus Metode Numerik ?!).
Misal kita punya sebuah persamaan f(x) = 3x2+2x. Maka sangat relatif mudah untuk kita mencari persamaan turunannya, yaitu f’(x) = 6x+2. Tapi bagaimana bentuk persamaanya menjadi f(x)=3e2-1x+4x. Maka akan terjadi kesulitan dalam menurunkannya. Dan juga komputer tidak mengerti metode analitik yang biasa kita lakukan pada proses umumnya (sangat sulit untuk melakukan penurunan).
Idenya Bagaimana ?
Dalam melakukan perhitungan turunan metode numerik, intinya kita sangat dianjurkan untuk menggunakan alat hitung baik kalkulator maupun komputer. Kenapa ?, karena kita akan berurusan dengan angka yang memiliki banyak koma. Kemudian kita juga mendapat data-data berupa nilai-nilai suatu titik (nilai x dan y(f(x)). Kemudian kita akan mengidentifikasi metode yang akan kita gunakan berdasarakan data yang ada atau nilai yang akan kita cari.
Metodenya ?
Metode yang kita gunakan ada 3, yaitu beda maju, beda mundur, dan beda pusat. Tetapi rumus yang digunakan berbeda untuk rumus turunan ke-1 dan ke-2. Perlu diingatkan juga bahwa jarak antar titik yang akan digunakan dalam perhitungan haruslah sama.
Turunan ke-1.
Metode Beda Maju :
Untuk metode beda maju intinya berdasarkan grafik berikut :
Nah, pada grafik berikut, diibaratkan kita mencari nilai turunan pertama di titik x0 atau f’(x0). Maka kita bisa mencari nilai turunannya dengan rumus berikut :
f’(x0) = f(x1)-f(x0)/(x1-x0).
Nah, untuk x1-x0 biasanya sering dikenal dengan h (selisih antara dua buah titik terdekat) *aturan h berlaku untuk semua metode.
Metode Beda Mundur
Bisa diperhatikan terlebih dahulu grafiknya :
Pada grafik berikut, dengan menggunakan metode beda mundur. Kita bisa mencari nilai dari f’(x0) menggunakan rumus berikut :
f’(x0) = f(x0)-f(x-1)/(x0-x-1)
Metode beda pusat
Bisa diperhatikan terlebih dahulu grafik berikut :
Untuk rumus beda pusat sendiri adalah sebagai berikut :
f’(x0) = f(x+1)-f(x-1)/(x+1-x-1)
Turunan ke-2 :
Untuk turunan kedua sendiri didapatkan dari metode taylor untuk lebih lengkap bisa undh pdf di : http://ainisuri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/46348/Turunan+Numerik+dan+Interpolasi+Polinomial.pdf.
Untuk Metode Beda Maju :
f”(x0) = (f(x+2)-2f(x+1)+f(x0))/(x+1-x0)2
Untuk Beda Mundur :
f”(x0) = (f(x-2)-2f(x-1)+f(x0))/(x-1-x0)2
Untuk Beda Pusat :
f”(x0) = (f(x+1)-2f(x0)+f(x-1))/(x0-x-1)2
Contoh soal :
Dik. Nilai dari beberapa titik-titik sebagai berikut :
xi
|
0.1
|
0.2
|
0.3
|
0.4
|
0.5
|
f(xi)
|
0.43
|
0.92
|
1.47
|
2.08
|
2.75
|
Tentukanlah nilai turunan pertama dan kedua dari xi di 0.1, 0.4, dan 0.5. Menggunakan semua cara yang bisa dilakukan (Metode Numerik)
Jawab :
Turunan Pertama
Untuk xi=0.1 cara yang mungkin bisa dilakukan hanya menggunakan cara beda maju.
Beda Maju :
f’(0.1) = (f(0.2) - f(0.1)) / (0.2-0.1)
= (0.92-0.43)/0.1 = 4.9
Untuk xi=0.4 cara yang mungkin bisa dilakukan adalah semua cara.
Beda Maju :
f’(0.4) = (f(0.5)-f(0.4))/(0.5-0.4)
= (2.75-2.08)/0.1 = 6.7
Beda Mundur :
f’(0.4) = (f(0.4)-f(0.3))/(0.4-0.3)
= (2.08-1.47)/0.1 = 6.1
Beda Pusat :
f’(0.4) = (f(0.5)-f(0.3))/(0.5-0.3)
= (2.75-1.47)/0.2 = 6.4
Nah, dalam kasus ini tiap metode mempunyai nilai masing-masing. Maka dengan rasionalisasi jumlah titik yang terlibat dalam perhitungan yang semakin banyak semakin bagus. Maka hasil dari metode beda pusat merupakan nilai yang paling mendekati analitik.
untuk xi=0.5 cara yang mungkin bisa dilakukan hanya menggunakan cara beda mundur.
Beda mundur
f’(0.5) = (f(0.5)-f(0.4))/(0.5-0.4)
= (2.75-2.08)/0.1 = 6.7
Turunan ke-2 :
Untuk xi=0.1 yang bisa digunakan hanya metode beda maju.
Beda Maju :
f”(0.1) = (f(0.3)-2*f(0.2)+f(0.1))/(0.1^2) = 6
Untuk xi=0.4 yang bisa digunakan hanya beda mundur dan beda pusat.
Beda Mundur :
f”(0.4) = (f(0.2)-2*f(0.3)+f(0.4))/(0.1^2) = 6
Beda Pusat :
f”(0.4) = (f(0.5)-2*f(0.4)+f(0.3)/(0.1^2) = 6
Untuk xi=0.5 yang bisa digunakan hanya beda mundur.
Beda mundur :
f”(0.5) = (f(0.3)-2*f(0.4)+f(0.5))/(0.1^2) = 6
Posting Komentar untuk "Turunan Numerik"
Berilah komentar, saran, dan kritik dengan bijak