Induksi Matematika

Sharing tentang ilmu baru, yaitu Matematika Diskrit atau saya biasa menyingkatnya MatDis. merupakan salah satu mata kuliah wajib yang harus saya selesaikan dalam menempuh program sarjana yang saya tempuh , semoga Bermanfaat.

 

           Bayangkan ketika kita memiliki sebuah tangga yang memiiki anak tangga yang tak terhingga. Pada suatu saat kita ingin mengetahui apakah benar seseorang telah sampai dianak tangga yang ke-k. Bagaimana cara mengetahuinya. Induksi Matematika pada kali ini sangat berperan dalam penentuan apakah dia Benar atau Salah.

            Pada umumnya Induksi Matematika daoat digunakan sebagai pengujian pernyataan bahwa pernyataan P(n) adalah benar untuk setiap  n bilangan bulat positif, dimana P(n) adalah sebuah fungsi proporsional. Sebuah pembuktian dalam Induksi Matematika memiliki 2 bagian, langkah dasar, yaitu dimana kita menunjukan bahwa P(1) adalah benar, dan Langkah Induksi, yaitu dimana kita menunjukan bahwa untuk setiap  k bilangan bulat positif, jika P(k) adalah benar, maka P(k+1) adalah benar.

PRINSIP DALAM INDUKSI MATEMATIKA  untuk membuktikan bahwa P(n) adalah benar untuk semua n bilangan bulat positif, dimana P(n) adalah fungsi proporsional, kita menyelesaikan dalam dua langkah :

LANGKAH DASAR : Kita memuktikan bahwa P(1) adalah benar

LANGKAH INDUKSI : Kita menunjukan bahwa pernyataan kondisional P(k)->P(k+1) adalah benar untuk setiap k bilangan bulat positif.

            Untuk menyeselesaikan tahap Langkah Induksi dalam sebuah pembuktian menggunakan prinsip dari induksi matematika. Kita mengasumsikan bahwa P(k) adalah benar untuk bilangan bulat positif yang bebas dan menunjukan juga bahwa asumsi P(k+1)  harus bernilai benar juga. Asumsi P(k) adalah benar dinamakan Hipotesis Induksi (Inductive Hypothesis). Setelah kita menyelesaikan 2 cara dalam pembuktian Induksi Matematika, kita dapat menunjukan bahwa P(n) adalah benar untuk setiap bilangan bulat positif.

            Contoh :

Buktikan :

P(n) = 1+2+...+n = n (n+1) /2

Jawab :

Langkah Dasar : P(1) -> 1 = 1(1+1)/2                       --> 1=2/2 benar.

Langkah Induksi :

P(k)      = 1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2                              -->  Benar.

P(k+1)  = 1 + 2 + ... + k + (k+1) = k+1((k+1)+1)/2               ket: blok kuning = P(k)

                 k(k+1)/2 + (k+1)        = k+1(k+2)/2

                 k(k+1)+2(k+1)/2        = k+1(k+2)/2

                 (k+1)(k+2)/2               = k+1(k+2)/2àTerbukti

Sekian dari saya semoga bermanfaat, apabil ada pertanyaan mari kita diskusikan bersama.

               

Sumber : Kenneth H. Rosen. Discrete Mathematics and It’s Applications (Sixth Edition).

Lokasi:

Berbagi :